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向量及向量的基本运算

2018-06-26 02:28:58

〈平面向量的基本定理及坐标表示〉--《平面向量的坐标表示及运算》
〈平面向量的基本定理及坐标表示〉--《平面向量的坐标表示及运算》向量及向量的基本运算

向量及向量的差不多运算一、教学目的:1.了解向量的有关概念,掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 教学目的:量的数量积及其运算规律,了解向量共线的充要条件. 2. 会用向量的代数运算规律、 三角形规律、 平行四边形规律处置有关成绩. 不 断培育并深化用数形结合的思想办法解题的自觉看法. 教学重点: 二、教学重点:向量的概念和向量的加法和减法规律.三、教学进程: 教学进程:(一)要紧学咨询: 1)向量的有关概念 ) ①向量:既有大小又有方向的量。

向量平常用 a , b , c ……来显示,或用有向线段的终点与终 点的大写字母显示,如: AB 。

向量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB |。

v v vrr②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是恣意的, 0 与恣意向量平行。

<留意与 0 的 留意与 差异> 差异 ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量。

④平行向量(共线向量) :方向相反或相反的非零向量。

恣意一组平行向量都能够移到同一 r r r 直线上。

相回响量: 我们把与向量 a 长度相等, 方向相反的向量叫做 a 的相回响量。

记作- a 。

⑤相等向量:长度相等且方向相反的向量。

相等向量经过平移后总能够重合,记为 a = b 。

2)向量加法 ) ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设 AB = a , BC = b ,则 a + b = AB + BC = AC 。

向量加法有“三角形规律”与“平行四边形规律” 。

阐明: (1) 0 + a = a + 0 = a ;rrrrr rrrrrr(2)向量加法满足交流律与结合律; 3)向量的减法 向量的减法 r r r ① 相回响量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相回响量。

记作 − a ,零向量的 相回响量仍是零向量。

关于相回响量有: (i)− ( − a ) = a ;rr(ii) a +( − a )=( − a )+ a = 0 ;rrrr r(iii)若 a 、 b 是互为相回响量,则 a = − b , b = − a , a + b = 0 。

②向量减法:向量 a 加上 b 的相回响量叫做 a 与 b 的差,记作: a − b = a + ( −b ) 。

求 两个向量差的运算,叫做向量的减法。

rrrr rr r r rrrrrrrrrr r r r r r r r a − b 的作图法: − b 能够显示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 a 、 有分歧终点) a ( b 。

(1)用平行四边形规律时,两个已知向量是要共始点的, 注: )用平行四边形规律时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量 ( 的始点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

点重合的那条对角线, 的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

(2) 三角形规律的特征是“首尾相接” 由第一个向量的终点指向最终来一个向量的 ) 三角形规律的特征是“首尾相接” , 终点的有向线段就显示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

终点的有向线段就显示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积 实数与向量的积 r r ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规章如下:

r r (Ⅰ) λa = λ ⋅ a ;(Ⅱ)当 λ > 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ < 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 λ = 0 时, λa = 0 ,方向是恣意的。

②数乘向量满足交流律、结合律与安排律。

实数与向量的积的运算律:设 λ、μ 为实数, 则 ①λ(μ a )=(λμ) a r r r ②(λ+μ) a =λ a +μ a ③λ( a + b )=λ a +λ b 5)两个向量共线定理 两个向量共线定理rrrrrrrrrrr r r r 向量 b 与非零向量 a 共线 ⇔ 有且只好一个实数 λ ,使得 b = λa 。

6)平面向量的差不多定理 平面向量的差不多定理 假设 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那样对这一平面内的任一向量 a ,有且只好一 对实数 λ1 , λ 2 使: a = λ1 e1 + λ 2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做显示这一平面内全部向量的 一组基底。

7)特殊留意 特殊留意: 特殊留意 (1)向量的加法与减法是互逆运算。

(2)相等向量与平行向量有差异,向量平行是向量相等的必要条件。

(3)向量平行与直线平行有差异,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线 (重合)的状况。

(4)向量的坐标与显示该向量的有向线条的始点、终点的详细位子有关,只与其相对位子 有关。

(二)要紧办法: 1.充分了解向量的概念和向量的显示; 2.数形结合的办法的运用; 3.用基底向量显示任一向量唯独性;r rrrrrr rr4.向量的特例 0 和单位向量,要琢磨周全. (三)例题分析: 例 1、推断下列各命题能否准确 (1)零向量没有方向 (3)单位向量都相等 (5)两相等向量若共终点,则终点也相反 (7)若 a // b , b // c ,则 a // c (2)若 a = b , 则a = b (4) 向量一定是有向线段 (6)若 a = b , b = c ,则 a = c ; (8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则rrrrrrrrr rr rAB = CD, BC = DA(9)已知 A(3,7) ,B(5,2) ,将 AB 按向量 a =(1,2)平移后失掉的向量 A′B ′ 的坐标为

(3,-3) (10) a = b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ; 解:(1) 不准确,零向量方向恣意, (2) 不准确,阐明模相等,还有方向 (3) 不准确, 单位向量的模为 1,方向格外多 (4) 不准确,有向线段是向量的一种显示方式 (5)正 确, (6)准确,向量相等有传递性 (7)不准确,因若 b = 0 ,则不共线的向量 a, crrrrrr也有 a // 0 ,0 // c 。

不准确, 如图 (8) ∵ a =(1,2) ,∴平移公式是 rAB = CD, BC ≠ DA(9) 不准确, x′ = x + 1 ,将 A(3,7) ,B(5,2)分手代入可求得  y′ = y + 2A′(4,9), B ′(6,4) ,故 A′B ′ =(6,4)-(4,9)=(2,-5) 。

(10)不准确,当 a // b ,且方向相反时,即使 | a |=| b | ,也不能失掉 a = b ; [点评 准确了解向量的有关概念 点评]准确了解向量的有关概念 点评 例 2、如图平行四边形 ABCD 的对角线 OD,AB 相交于点 C,线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM, 线 段 CD 上 有 一 点 N 满 足 CD = 3CN, 设rrrrrrOA = a, OB = b,试用a, b显示OM , ON , MN1 1 1 1 1 BC = BA, ∴ BM = BA = OA − OB = a − b 3 6 6 6 6 1 5 1 4 2 ∴ OM = OB + BM = a + b . Q CN = CD,∴ ON = CD = OD 6 6 3 3 3 2 2 2 1 1 ∴ ON = OD = OA + OB = a + b ∴ MN = ON − OM = a − b 3 3 3 2 6解:Q BM =() ( )() ( )[点评 依照向量的几何加减规律 能对图形中的向量停止相互显示 点评]依照向量的几何加减规律 点评 依照向量的几何加减规律,能对图形中的向量停止相互显示 练 习 : △ABC2 中, AD = AB, DE // BC交AC于E , AM是BC边上中线交DE于N . 设 AB = a, AC = b, 3用 a, b分手显示向量 AE , BC , DE , DN , AM , AN .如图 解:2 2 1 b, BC = b − a, DE = b − a , DN = b − a 3 3 3 1 1 AM = b + a , AN = b + a 2 3 AE =( )( )( )( )例 3、一条渔船距对岸 4km,以 2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,抵达 对岸时,船的实践航程为 8km ,求河水的流速. 解:设 AB 显示垂直于对岸的速度, BC 显示水流速度,则 AC 为实践速度 飞行时刻为 4km÷2km/h=2h

在△ABC 中 AB = 2AC = 4BC = 2 3因此, 河水的流速为 2 3km / h [点评 求合力或分力 合速或分速成绩用向量解是一种罕见成绩 要擅长运用平行四边形和 点评]求合力或分力 合速或分速成绩用向量解是一种罕见成绩,要擅长运用平行四边形和 点评 求合力或分力,合速或分速成绩用向量解是一种罕见成绩 三角形规律 例 4、在△ABC 中,D、E 分手为 AB、AC 的中点,用向量的办法证实: DE 平行且等于 0.5BC 分析:要证实 DE 平行且等于 0.5BC,只需 DE = 解:如图 DE = AE − AD, BC = Ac − AB 又 D,E 为中点1 BC 21 1 AB, AE = AC 2 2 1 1 即 DE = AE − AD = AC − AB = BC 2 2 1 因此 DE 平行且等于 0.5BC 2 ∴ AD =()[点评 几何成绩能够转化为向量成绩的证实 往往会变的简明通达 点评]几何成绩能够转化为向量成绩的证实 点评 几何成绩能够转化为向量成绩的证实,往往会变的简明通达 练习: 已知 G 是△ABC 的重心,求证: GA + GB + GC = 0 证实:以向量 GB, GC 为邻边作平行四边形 GBEC,则 GB + GC = GE = 2GD ,又由 G 为 △ABC 的重心知 AG = 2GD , 从而 GA = −2GD , GA + GB + GC = −2GD + 2GD = 0 。

∴ 例 5、设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 − e2 ,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值 分析:使 AB = λ BD 解: BD = CD − CB = e1 − 4e2 , 得 λ = 2, k = −4λ ⇒ k = −8 [点评 共线或平行成绩 用向量或坐标平行的充要条件处置 点评]共线或平行成绩 点评 共线或平行成绩,用向量或坐标平行的充要条件处置 使 AB = λ BD ∴ 2e1 + k e2 = λ (e1 − 4e2 )rr例 3. 经过 ∆OAB 重心 G 的直线与 OA, OB 分手交于点 P , Q ,uuu r uuu uuur r uuu r 1 1 设 OP = mOA, OQ = nOB , m, n ∈ R ,求 + 的值。

n m uuur 1 r r uuu r uuu r r r uuu r r r 解:设 OA = a, OB = b ,则 OG = (a + b) , PQ = nb − ma 3 uuu uuur uuu r r 1 r 1r PG = OG − OP = ( − m)a + b 3 3 O P•GQ BA

由 P, G , Q 共线,得r r r 1 r uuu r uuur 1 存在实数 λ ,使得 PQ = λ PG ,即 nb − ma = λ ( − m)a + λ b 3 31   − m = λ ( 3 − m) 1 1  从而  ,消去 λ 得: + = 3 n m n = 1 λ  3 (四)稳固练习:1.已知梯形 ABCD 中,| AB |= 2 | DC | , M , N 分手是 DC 、 AB 的中点,若 AB = e1 ,uuu ruuuruuu rruuur r r r r r uuur uuu uuuu AD = e 2 ,用 e1 , e 2 显示 DC 、 BC 、 MN .DMCur A uuur 1 uuu e r B N 解: (1) DC = AB = 1 2 2 uuu uuu uuur r r uuu uuur uuur uuur uuu uuur 1 uuu uu 1 ur r r r r (2) BC = BA + AC = − AB + AC = AD + DC − AB = AD − AB = e2 − e1 2 2 uuuu uuuu uuu uuur r r r r r r r 1 uuu uuur 1 uuu 1 uuu uuur 1 ur uu (3) MN = MD + DA + AN = − AB − AD + AB = AB − AD = e1 − e2 4 2 4 42 . ( 1 ) 设 两 个 非 零 向 量e1、e2不 共 线 , 如 果uuu r ur uu uuu r r ur uu uuu r r ur uu r AB = 2e1 + 3e2 , BC = 6e1 + 23e2 , CD = 4e1 − 8e2 , 求证: A, B, D 三点共线. uuu r ur 1uu uuu ur uu uuu r r 2 r r ur uu r AB = 2e1 + ke2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 − e2 ,若 A, B, D 三点共线,求 k 的值. uuu r ur uu uuu r r ur uu r (1)证实:由于 BC = 6e1 + 23e2 , CD = 4e1 − 8e2 uuu r ur uu r 因此 BD = 10e1 + 15e2 uuu r ur uu r 又由于 AB = 2e1 + 3e2 uuu r uuu r 得 BD = 5 AB uuu uuu r r 即 BD // AB 又由于公共点 B 因此 A, B, D 三点共线; uuu uuu uuu ur uu r r r r ur uu r uu ur r (2)解: DB = CB − CD = e1 + 3e2 − 2e1 + e2 = 4e2 − e1 uuu r ur uu r AB = 2e1 + ke2 由于 A, B, D 共线 uuu uuu r r 因此 AB // DB uuu r uuu r 设 DB = λ AB( 2 ) 设e、e是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 已 知

因此 λ = 2  1 k = − 2 即k = −1 ; 2四、小结: 小结:1)向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量 2)向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的差不多定理, 基底五、作业: 作业: