[图文]2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)艺术联考文科综合

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2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)

2017年高考数学全国卷2理试题及答案
2017年高考数学全国卷2理试题及答案2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)艺术联考文科综合

绝密★启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 6 页. 共 考试时间 120 分钟. 满 分 150 分. 答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题 卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置. 参考公式:样本数据 x1 , x2 , xn 的标准差( x1  x) 2  ( x2  x) 2    ( xn  x) 2 s n球的面积公式其中 x 为样本平均数S  4R2第Ⅰ卷(选择题注意事项:共 60 分)1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 2.第Ⅰ卷只有选择题一道大题. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数1  2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1 iB.A.3 21 2C. 3D. 12.已知 R 是实数集, M   x B. 0,2 2   1, N  y y  x  1  1 ,则 N  C R M   x C.  D. 1,2A. (1,2)3.现有 10 个数,其平均数是 4 ,且这 10 个数的平方和是 200 ,那么这个数组的标准差是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 则 4  , S24.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2  a5  0 A. 5 B. 8 C.  8SD.15-1-

5.已知函数 f ( x )  sin( 2 x  的值是 A.6) ,若存在 a  (0,  ) ,使得 f ( x  a)  f ( x  a) 恒成立,则 a 6B. 3C. 4D. 26.已知 m 、 n 表示直线,  ,  ,  表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为 (1)     m, n   , n  m, 则   (2)    ,    m,     n, 则n  m (3) m   , m   , 则  ∥  (4) m   , n   , m  n, 则   A. (1)(2) 、 B. (3)(4) 、 C. (2)(3) 、 D. 、 (2)(4)7.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C ,若 OA  3OB  2OC , 则| AB | | BC |等于A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形 ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 角形的周长是 A. 18 9.函数 f ( x )  lg x  A. 0,1 B. 21 C. 24 D. 153 ,则这个三 21 的零点所在的区间是 xC. 10,100B. 1,10, D. (100 )2 2 10.过直线 y  x 上一点 P 引圆 x  y  6 x  7  0 的切线,则切线长的最小值为A.2 2B.23 2 2C.10 2D. 211.已知函数 f ( x)  x  ax  2b .若 a, b 都是区间 0,4 内的数,则使 f (1)  0 成立的概率是 A.3 4B.1 4C.3 8D.5 812.已知双曲线的标准方程为x2 y2   1 ,F 为其右焦点,A1 , A2 是实轴的两端点,设 P 为 9 16双曲线上不同于 A1 , A2 的任意一点,直线 A1 P, A2 P 与直线 x  a 分别交于两点 M , N ,若-2-

FM  FN  0 ,则 a 的值为A.16 9B.9 5C.25 9D.16 5第Ⅱ卷(非选择题注意事项:共 90 分)1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.书写的答 案如需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________. 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示, 其 点都在一个球面上,则该球的表面积为__________.开始a  2, i  1i  10是否顶输出 aa1 1 ai  i 11 1 1 第 14 题图 15.地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R 第13题图结束2 (lg E  11.4) .2011 年 3 月 11 日,日 3本东海岸发生了 9.0 级特大地震,2008 年中国汶川的地震级别为 8.0 级,那么 2011 年地震 的能量是 2008 年地震能量的 16.给出下列命题: ①已知 a , b 都是正数,且 ,m 倍.a 1 a  ,则 a  b ; b 1 b②已知 f ( x ) 是 f ( x ) 的导函数,若 x  R , f ( x)  0 ,则 f (1)  f (2) 一定成立; ③命题“ x  R ,使得 x  2 x  1  0 ”的否定是真命题;2④“ x  1, 且y  1 ”是“ x  y  2 ”的充要条件. 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)-3-

 x x x ) 与 b  ( 3 sin  cos , y ) 共线,且有函数 y  f (x) . 2 2 2 2  2 x) 的值; (Ⅰ )若 f ( x)  1 ,求 cos( 3已知向量 a  (1, cos(Ⅱ)在 ABC 中,角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C  c  2b ,求函数f (B ) 的取值范围.18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 an  的前 n 项和为 S n ,公差 d  0, 且S3  S5  50, a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ )求数列 an  的通项公式; (Ⅱ )设  bn   是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 bn  的前 n 项和 Tn .  an 19.(本小题满分 12 分)BE CD  2 ,  面ABC , CD 已知四棱锥 A  BCDE , 其中 AB  BC  AC  BE  1 ,∥ CD , F 为 AD 的中点. (Ⅰ )求证: EF ∥面 ABC ; (Ⅱ )求证:面 ADE  面ACD ; (III)求四棱锥 A  BCDE 的体积. C BADF E A20.(本小题满分 12 分) 在某种产品表面进行腐蚀性检验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间对应的一组数据:-4-

时间 x (秒) 深度 y (微米)5 610 1015 1020 1330 1640 17现确定的研究方案是:先从这 6 组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ )求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率; (Ⅱ )若选取的是第 2 组和第 5 组数据,根据其它 4 组数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程ˆ y4 139 x ,规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差 13 26均不超过 2 微米,则认为得到的线性回归方程是可靠的,判断该线性回归方程是否 可靠.21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ax  b 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 x  y  3  0 . x2 1(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x)  ln x ,求证: g ( x)  f ( x) 在 x  [1,) 上恒成立.22.(本小题满分 14 分) 实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点,其焦点 F , F2 在 x 轴上.抛物线的顶点在原点 O ,对 1, 称轴为 y 轴,两曲线在第一象限内相交于点 A ,且 AF1  AF2 ,△ AF F2 的面积为 3 . 1 (Ⅰ )求椭圆和抛物线的标准方程; (Ⅱ )过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于 B, C ,若 AC  2 AB ,求直线 l 的斜率 k . yAF1 C-5-BoF2x

参考答案及评分标准一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )BDBADBBDBCCB二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. )13. 2 三.解答题14.19  3315. 10 216. ①③17. (本小题满分 12 分) 解: )∵ a 与 b 共线 (Ⅰ∴1  x x 3 sin  cos 2 2cos yx 2x x x 3 1  1 y  3 sin cos  cos2  sin x  (1  cos x)  sin(x  )  „„„„3 分 2 2 2 2 2 6 2∴ f ( x)  sin( x 6)cos(2    1  2 x)  cos 2(  x)  2 cos 2 (  x)  1  2 sin 2 ( x  )  1   3 3 3 6 2„„„„„„„„„„„„„„„„1  1  1 ,即 sin( x  )  2 6 2„„„„„„„„„„„„„„„„4分6分(Ⅱ )已知 2a cos C  c  2b 由正弦定理得:2 sin A cosC  sin C  2 sin B  2 sin( A  C ) 2 sin A cosC  sin C  2 sin A cosC  2 cos A sin C 1 ,∴在 ABC 中 ∠ A  3 2  1 f ( B )  sin( B  )  6 2  2   5 ∵∠ A  ∴0  B  ,  B  3 3 6 6 6 1  3 ∴  sin( B  )  1 , 1  f ( B)  2 6 2∴ cos A „„„„„„„„„„„„„„„„8分„„„„„„„„„„„„„„„„10 分-6-

∴函数 f (B ) 的取值范围为 (1, 18. (本小题满分 12 分) 解: )依题意得 (Ⅰ3 ] 2„„„„„„„„„„„„„„„„12 分3 2 45  d  5a1  d  50 3a1  2 2  (a  3d ) 2  a (a  12d ) 1 1  1解得 „„„„„„„„„„„„„„„„2分a1  3 , d 2 „„„„„„„„„„„„„„„„4分an  a1  (n  1)d  3  2(n  1)  2n  1 即an  2n  1.„„„„„„„„„„„6 分 ,(Ⅱ)bn  3n1 , bn  an  3n1  (2n  1)  3n1 an„„„„„„„„„„„„„„„„7分Tn  3  5  3  7  32    (2n  1)  3n13Tn  3  3  5  32  7  33    (2n  1)  3n1  (2n  1)  3n „„„„„„„„9 分 2Tn  3  2  3  2  32    2  3n1  (2n  1)3n3(1  3 n 1 )  (2n  1)3 n 1 3 n  2n  3  3 2∴ Tn  n  3n 19. (本小题满分 12 分) 解: )取 AC 中点 G,连结 FG、BG, (Ⅰ ∵F,G 分别是 AD,AC 的中点 D„„„„„„„„„„„„„„„„12 分1 ∴FG∥CD,且 FG= DC=1 . 2∵BE∥CD ∴EF∥BG. ∴FG 与 BE 平行且相等„„„„„„„„„„„F 2分 E GEF  面ABC, BG  面ABCC ∴ EF ∥面 ABC (Ⅱ △ 为等边三角形 )∵ABC„„„„„„„„„„„A4分 BA∴BG⊥AC-7-

又∵ DC⊥面 ABC,BG  面 ABC ∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC, ∴BG⊥面 ADC . ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC ∵EF  面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC .„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„6分8分(Ⅲ)连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E-ABC 和 E-ADC .1 3 1 3 3 3 3 .„„„„„„„„„12 分 V A BCDE  VE  ABC  VE  ACD    1   1    3 4 3 2 12 6 4另法:取 BC 的中点为 O ,连结 AO ,则 AO  BC ,又 CD  平面 ABC , ∴ CD  AO, BC  CD  C , ∴ AO  平 面 B C D E ∴ AO 为 V A BCDE 的 高 , ,AO 3 (1  2)  1 3 1 3 3 3 . , S BCDE   ,V ABCDE     2 2 2 3 2 2 420. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 6 组数据的编号分别为 1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件 A,从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) ( 2,6 ) 3,4) ( (3,5) 3,6 ) 4,5) ( ( (4,6) 5,6 ) ( ,其 中事 件 A 包 含的基本事 件 有 10 种.„„„„„„„„„„„„„„„„3分„„„„„„„„„所以 P ( A) 2 10 2  .所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是 . 3 15 36分ˆ (Ⅱ) 当 x  10 时, y ˆ 当 x  30 时, y 4 139 219 219  10   ,|  10 | 2; 13 26 26 264 139 379 379  30   ,|  16 | 2; 13 26 26 26„„„„„„„„„„„„„„9分所以,该研究所得到的回归方程是可靠的. 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)将 x  1 代入切线方程得 y  2 ∴ f ( 1) „„„„„„„„„„„„„„„„12 分ba  2 ,化简得 b  a  4 . 11„„„„„„„„„„„„„„„„2分-8-

f ( x) a( x 2  1)  (ax  b)  2 x (1  x 2 ) 22a  2(b  a) 2b b    1 . 4 4 2„„„„„„„„„„„„„„„„f (1) 4分解得: a  2, b  2 ∴ f ( x) 2x  2 x2 1.„„„„„„„„„„„„„„„„6分(Ⅱ)由已知得 ln x 2x  2 在 [1,) 上恒成立 x2 1化简得 ( x 2  1) ln x  2x  2 即 x ln x  ln x  2 x  2  0 在 [1,) 上恒成立 .2„„„„„„„„„„„„„„„„8分设 h( x)  x 2 ln x  ln x  2 x  2 ,h( x)  2 x ln x  x ∵x 11 2 x x 1  2 ,即 h( x)  0 . x„„„„„„„„„„„„„„„„∴ 2 x ln x  0,10 分∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增, h( x)  h(1)  0 ∴ g ( x)  f ( x) 在 x  [1,) 上恒成立 .„„„„„„„„„„„„„„„„12 分22. (本小题满分 14 分)x2 y 2 解(1)设椭圆方程为 2  2  1 (a  b  0) , AF  m, AF2  n 1 a b m 2  n 2  4c 2   由题意知 m  n  4 3 m n  6  解得 c  9 ,∴ b  12  9  3 .2 2„„„„„„„„„„„„„„„„2分∴椭圆的方程为x2 y2  1 12 3„„„„„„„„„„„„„„„„4分∵ y A  c  3 ,∴ y A  1 ,代入椭圆的方程得 x A  2 2 ,-9-

将点 A 坐标代入得抛物线方程为x2  8y .„„„„„„„„„„„„„„„„6分(2)设直线 l 的方程为 y  1  k ( x  2 2 ) , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) 由 AC  2 AB 得 x2  2 2  2( x1  2 2 ) ,„„„„„„„„„„„„„„„„化简得 2x1  x2  2 2 联立直线与抛物线的方程 8分 y 1  k(x  2 2)  , x 2  8 y 得 x  8kx  16 2k  8  02∴ x1  2 2  8k ① 联立直线与椭圆的方程 „„„„„„„„„„„„„„„„10 分 y 1  k(x  2 2)   x 2  4 y 2  12 得 (1  4k 2 ) x 2  (8k  16 2k 2 ) x  32k 2  16 2k  8  016 2k 2  8k ∴ x2  2 2  ② 1  4k 2 16 2k 2  8k ∴ 2 x1  x2  2(8k  2 2 )  2 2 2 2 1  4k 2整理得: (16k  4 2 )(1  ∴k „„„„„„„„„„„„„„„„12 分2k )0 1  4k 2.„„„„„„„„„„„„„„„„2 2 ,所以直线 l 的斜率为 4 414 分- 10 -